学科、专业名称：学科教学（数学） 

复试科目：初等几何研究

考试大纲

考试科目：初等几何研究考试形式和试卷结构

一、试卷满分及考试时间

试卷满分为 100 分，考试时间为 120 分钟。

二、答题方式

答题方式为闭卷、笔试。

三、试卷题型结构

简答题 2 小题，共 20 分。

辨析题 3 小题，共 20 分。

问题解决题 3 小题，共 45 分。

论述题 1 小题，共 15 分。

四、考试内容

（一）问题解决基本内容

何谓问题;何谓问题解决;问题解决过程的分析;问题解决中的几何问题;平面几何问题解决过程。

具体要求

1.掌握几何问题解决教学的含义。

2.了解几何问题解决教学的相关理论。

3.掌握几何问题的分析方法。

（二）几何问题解决教学的逻辑基础

数学概念及其产生；数学中的定义；判断与命题；简单命题；复合命题；数学命题的四种形式；命题的条件；同一性命题和分断式命题；形式逻辑的基本规律；数学中的推理；数学中的证明。

具体要求

1.理解并掌握数学概念的含义、内涵和外延、定义方式及其原则。

2.理解并掌握数学命题的含义、类型及其形式。

3.理解并掌握同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。

4.理解并掌握数学推理和数学证明。

（三）对称与初等几何变换

合同变换的概念；合同变换的性质；平移变换的概念；平移变换的应用；旋转变换的概念；旋转变换的应用；反射变换的概念；反射变换的应用；相似变换及其应用；位似变换及其应用。

具体要求

1.掌握合同变换的含义。

2.掌握平移变换、旋转变换、反射变换、相似变换与位似变换及其性质。

3.熟练应用上述变换解决问题。

（四）初等几何问题解决策略（上）

线段相等的证明；角的相等的证明；面积相等问题的证明；与圆有关的相等问题的证明；如何证明角或线段的和差问题；如何证明角或线段的倍分关系问题； 角或线段的不等问题的证明；如何证明两线的平行；如何证明两线垂直；运用几何知识求几何极值问题；运用代数方法求几何极值；运用三角方法求几何极值； 证明定值问题；证明三点共线的一般方法；证明三线共点的一般方法；证明四点共圆。

具体要求

1.掌握相等问题的证明策略：线段的相等问题、角的相等问题、面积的相等问题、比例的相等问题等等。

2.掌握角或线段的和差与倍分问题的证明策略。

3.掌握直线的平行与垂直问题的证明策略。

4.掌握极值问题的证明策略。

5.掌握定值问题的证明策略。

6.掌握三点共线和三线共点问题的证明策略。

7.掌握四点共圆问题的证明策略。

（五）初等几何问题解决策略（下）

比例法；代数法；三角法；解析法；用其它学科的方法证明几何题；微积分证法；矢量证法；用仿射变换证明一些初等几何题；利用抽屉原则证明初等几何题。

具体要求

1.掌握数形结合的解决问题的策略：比例法、代数法、三角法、解析法。

2.掌握用其它学科的方法解决初等几何问题的策略。

3.掌握用高等数学方法解决初等几何问题的策略：微积分方法；向量证法； 仿射变换方法。

4.掌握用抽屉原则解决一些初等几何问题。

（六）勾股定理的证明具体要求

1.了解勾股定理的历史。

2.掌握勾股定理的一些典型的证明方法。

3.掌握勾股定理的应用。

（七）几何问题解决过程中逻辑错误及其分析具体要求

1.了解悖论的含义和特点。

2.掌握对初等几何问题解决过程中出现的具有悖论性质的逻辑错误根源的分析方法。

加试 1 科目：常微分方程考试大纲：

考试科目：常微分方程考试形式和试卷结构

一、试卷满分及考试时间

试卷满分为 100 分，考试时间为 120 分钟。

二、答题方式

答题方式为闭卷、笔试。

三、试卷内容结构四、试卷题型结构

单选题 5 小题，每小题 4 分，共 20 分

填空题 5 小题，每小题 4 分，共 20 分解答题（包括证明题）6 小题，共 60 分

主要参考书目：常微分方程（王高雄，朱思铭等编著，高等教育出版社）教材的前五章。

主要考查内容：

第一章：基本概念。

第二章，一阶微分方程的初等解法（包括奇解）。

第三章，解的存在唯一性定理的分析和应用；解的延拓。

第四章，高阶线性微分方程解的结构理论；常系数线性方程及欧拉方程的求解方法。如，常数变易法；欧拉待定指数函数法；比较系数法。

第五章，解的基本理论。存在唯一性定理及其应用；解的结构理论；基解矩阵与矩阵指数；基解矩阵的计算方法。

加试 2 科目：解析几何考试大纲

科目名称：解析几何

一、考试形式和试卷结构

（一）试卷满分及考试时间

本试卷满分为 100 分，考试时间为 120 分钟。

（二）答题方式

答题方式为闭卷、笔试。

（三）试卷题型结构

计算题 6 个大题，共 78 分

证明题 2 个大题，共 22 分

二、考查目标（复习要求）

考试内容包括解析几何一门课程的前四章内容（第一章：矢量与坐标、第二章：轨迹与方程、第三章：平面与空间直线、第四章：柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面），要求考生系统掌握基本知识、基本方法，并能运用相关知识、理论和方法解决实际问题。

三、考试内容概要

第一章：矢量与坐标

1.考试内容

（1）矢量的概念

（2）矢量的加法

（3）数量乘矢量

（4）矢量的线性关系与矢量的分解

（5）标架与坐标、矢量的坐标运算

（6）矢量在轴上的射影

（7）两矢量的数性积

（8）两矢量的矢性积

（9）三矢量的混合积

2.考试要求

掌握矢量的概念、各种运算，掌握矢量共线、共面的充要条件加法的两个法并能运用矢量法证明有关几何命题。

3.重点、难点

矢量的基本概念、矢量的各种运算及线性相关和线性无关的判断，数性积、

矢性积和混合积的几何意义，几何命题转化为矢量间的关系以及矢量的应用。第二章：轨迹与方程

1.考试内容

（1）平面曲线的方程、曲面的方程

（2）母线平行于坐标轴的柱面方程以及柱面的作图

（3）空间曲线方程2.考试要求

熟悉空间中一些特殊曲面、曲线的方程，掌握建立曲面、空间曲线（主要是参数方程）的方法，会判断已知方程所表示的轨迹是什么。

3.重点、难点

空间坐标系下曲面与空间曲线方程的定义及曲面和空间曲线方程的求法；空间坐标系下母线平行于坐标轴的柱面方程及曲面和曲线的参数方程。

第三章：平面与空间直线

1.考试内容

（1）平面的方程、平面与点的相关位置

（2）两平面的相关位置、空间直线的方程

（3）直线与平面的相关位置

（4）空间两直线的相关位置

（5）空间直线与点的相关位置、平面束

2.考试要求

掌握空间坐标系下平面、直线方程的各种形式的方程，明确方程中参数的几何意义，能根据决定平面或决定直线的各种条件导出它们的方程，并熟悉平面方程的各种形式的互化与直线各种方程形式的互化；熟练掌握平面与空间直线间各种位置关系的解析条件，能熟练地根据平面和直线的方程以及点的坐标判别有关点、平面、直线之间的位置关系与计算它们之间的距离和交角。

3.重点、难点

重点：空间坐标系下平面、直线方程的几种重要形式；平面与空间直线间各种位置关系的解析条件；平面与空间直线各种度量关系的量化公式。

难点：平面（或空间直线）各种形式方程的互化；综合运用位置关系的解析条件求平面、空间直线方程。

第四章：柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

1.考试内容

（1）柱面

（2）锥面

（3）旋转曲面

（4）椭球面

（5）双曲面

（6）抛物面

（7）曲面的直纹性

2.考试要求

掌握常见二次曲面的定义及标准方程，牢固掌握坐标平面上的曲线绕坐标轴旋转所得旋转面方程的求法；掌握柱面、锥面、旋转曲面的定义、方程求法和方程特征；了解常见二次曲面的性质和形状，会画它们的草图；了解二次曲面的直纹性。

3.重点、难点

重点：柱面、锥面、旋转曲面的概念及方程求法；椭球面、双曲面、抛物面方程的讨论，图形性质和形状的画法；坐标平面上的曲线绕有关坐标轴旋转，所产生旋转曲面方程的求法。

难点：锥面方程的特征及其论证；单叶双曲面和双曲抛物面几何性质的分析； 二次曲面直纹性的证明。

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