硕士研究生入学考试《数学分析》考试大纲

    Ⅰ考试形式和试卷结构

    一、试卷满分及考试时间

    本试卷满分为150分，考试时间为3小时。

    二、答题方式

    答题方式为闭卷、笔试。

    三、试卷题型结构

    1、填空题　40分

    2、计算题50分

    3、证明题60分

    II　考试范围

    一元微积分部分

    1.会用ε—N定义证明数列极限有关问题，并会用ε—N语言正确表述数列不以某数为极限；

    2.理解收敛数列的性质，极限的唯一性、保号性及不等式性质；

    3.会用极限的四则运算法则，迫敛性定理以及单调有界定理求收敛数列的极限；

    4.理解柯西准则在极限理论中的重要意义，能用该准则判定某些简单数列的敛散性。

    5.能运用函数极限定义证明与函数极限有关的某些命题，会给出函数不以某定数为极限的相应表述；

    6.掌握函数极限基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质及有理运算性质；

    7.理解Heine定理及Cauchy准则，初步掌握运用它们证明函数极限存在的基本思路；

    8.识记两个重要极限，能灵活运用其求一些相关函数极限；

    9.明确函数在一点连续定义的几种等价叙述；

    10.会熟练准确地求出一般初等函数或分段函数的间断点并判别其类型；

    11.理解连续函数的性质，并能在相关问题的讨论中正确运用这些重要性质；

    12.深刻理解初等函数的连续性，应用连续性求极限；

    13.掌握闭区间上连续函数的性质，理解其几何意义，并能在各种有关具体问题中加以运用；

    14.利用定义法求函数在一点的导数；导数与导函数的联系与区别，可导的充要条件，可导与连续的关系，求曲线上一点处的切线方程，用导数概念解决相关变化率的实际应用问题；

    15.熟记各类基本初等函数导数公式，综合运用求导的法则和方法熟练计算初等函数的导数；

    16.理解函数微分的概念，用定义求简单函数的微分，运用基本公式和微分法则求初等函数的微分；

    17.导数与微分的联系，增量与微分的关系，用微分作近似计算；

    18.理解高阶导数与高阶微分概念，明确二者的联系，会求高阶导数与高阶微分，理解一阶微分形式的不变性并用其求复合函数的微分。

    19.利用中值定理证明有关函数微分学的命题；

    20.用洛比塔法则求不定式的极限；

    21.讨论函数及曲线性态，用导数作函数图象；

    22.求解有关最大(小)值的应用问题；

    23.用中值定理及单调性证明不等式，方程根的存在个数及分布讨论。

    24.区间套、确界、覆盖、子列等概念的理解；求点集的聚点、确界；

    25.对实数基本定理的理解和准确表述，明确其等价性；

    26.应用闭区间上连续函数的性质讨论函数的有界性、最值性、证明方程根的存在性；

    27.原函数与不定积分的关系及其几何意义；积分与微分的关系；

    28.熟记基本积分公式，用线性运算法则求不定积分；

    29.用换元积分法和分部积分法或综合运用这几种方法求不定积分；

    30.理解并掌握定积分的思想(分割、近似求和、取极限)的基础上会用定义求简单函数的定积分；

    31.用微积分学基本定理及牛顿——莱布尼兹公式进行有关积分的证明和计算；变限积分的求导法则及应用；

    32.用换元积分法和分布积分法计算定积分；

    33.用定积分解决某些几何应用问题：平面图形面积、平面曲线的弧长、一些特殊立体的体积、旋转曲面的面积等的计算；

    34.用比较法、Cauchy法判别无穷限积分的收敛性；

    二级数部分

    1.级数敛散性的概念及收敛级数性质的理解和运用；

    2.用定义、性质及收敛的必要条件判别级数的敛散性；

    3.用比较法、比式法、根式法、积分法判别正项级数敛散性；

    4.用莱布尼兹判别法判断交错级数的敛散性；

    5.用Abel及Dirichlet判别法判断某些级数的敛散性；

    6.函数列或函数项级数一致收敛的概念和性质的理解与掌握；

    7.函数项级数一致收敛性的判别；

    8.掌握一致收敛的函数列与函数项级数表示的函数的连续性、可积性、可微性，并用这些性质去解决有关问题；

    9.求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；

    10.熟记几个常用初等函数的幂级数展开式，并利用其将某些初等函数展开成幂级数；

    11.用幂级数的性质及逐项求导和逐项积分求某些幂级数的和函数；

    12.明确函数幂级数展开的条件及求函数幂级数展开式的一般步骤。三.多元微积分部分

    1.理解并掌握二元函数极限概念，明确重极限与累次极限的关系，能借助累次极限解决极限有关问题；说明二元函数极限不存在的常用方法的应用；

    2.理解二元函数连续的概念，会利用连续性求初等函数的极限，掌握有界闭域上连续函数的性质；

    3.深刻理解全微分和偏导数的概念及联系，用定义讨论函数的可微性；

    4.用定义求函数在指定点的偏导数；

    5.熟练运用复合函数求导法则计算各阶偏导数；

    6.函数的可微、连续、偏导存在与偏导数连续之间关系；

    7.求空间曲线的切线和法平面；曲面的切平面和法线；

    8.求二元函数的极值及一些简单的最大(小)值应用问题；

    9.求隐函数及隐函数组的导数；

    10.隐函数理论在几何上的应用，求曲线切线、法线(法平面)、求曲面的切平面和法线；

    11.用Lagrange乘数法求条件极值；

    12.分析、论证含参量积分定义的函数的连续性，可微性或可积性；

    13.判别含参量反常积分一致收敛性；

    14.用对参量的积分、微分、极限等运算求定积分或反常积分；

    15.Γ函数及B函数的定义、关系及递推公式的应用。

    16.熟练运用两类曲线（曲面）积分的计算法求曲线（曲面）积分；

    17.直角坐标系下计算二重积分及二次积分交换顺序；

    18.利用变量替换公式简化二重积分计算，特别是利用极坐标变换计算二重积分；

    19.应用Green公式计算第二型曲线积分，及用第二型曲线积分计算平面图形面积；

    20.化三重积分为累次积分，用柱面坐标和球面坐标计算三重积分；

    21.应用Gauss公式计算曲面积分。

    硕士研究生入学考试《高等代数》考试大纲

    Ⅰ考试形式和试卷结构

    一、试卷满分及考试时间

    本试卷满分为150分，考试时间为3小时。

    二、答题方式

    答题方式为闭卷、笔试。

    三、试卷题型结构

    1、填空题　40分

    2、计算题50分

    3、证明题60分

    II　考试范围

    一、多项式理论

    一元多项式的整除性、带余除法、最大公因式、互素多项式、不可约多项式、多项式的因式分解、重因式等基本概念及其性质;多项式函数;多项式的根(重根)与它的一次因式(重因式)间的关系;多项式是否有重因式的判别法;实、复系数多项式的不可约多项式的形式及标准分解式的形式;有理系数多项式的不可约判定及求整系数多项式的有理根等基本方法。

    二、行列式

    n级排列的逆序数、对换、奇偶性;n阶行列式的定义、性质;行列式的子式、代数余子式及展开定理;行列式的计算方法;克莱姆法则;Vandermonde行列式。

    三、矩阵理论

    矩阵的运算及性质;矩阵的秩;矩阵的初等变换与初等矩阵;矩阵在初等变换下的标准形;矩阵的逆、伴随阵、线性方程组的矩阵形式;行列式乘积定理;;分块矩阵;分块矩阵运算;矩阵和转置、对角阵、三角阵、矩阵单位;矩阵的迹、方阵的多项式。

    四、线性方程组

    n维向量空间;n维向量组的线性相关性;n维向量组的秩、向量组的等价，矩阵的秩等基本概念及性质;Gauss消元法;线性方程组有解的判定定理;线性方程组解的结构(括齐次线性方程组的基础解系定义、求法)。

    五、二次型

    二次型的矩阵表示;二次型的标准形与合同变换;复数域与实数域上二次型的标准形、规范形;惯性定理;实二次型、实对称矩阵正定的充分必要条件。

    六、线性空间

    线性空间的概念；一些重要的线性空间实例，基、维数与坐标;基变换与坐标变换。

    七、线性变换

    线性映射与线性变换的概念、运算;线性变换的矩阵表示;线性变换(矩阵)的特征多项式、特征值与特征向量;线性变换的值域与核;特征子空间;线性变换的不变子空间;线性变换的矩阵为对角矩阵的充要条件，线性变换及矩阵的最小多项式;

    八、欧氏空间

    向量内积;欧氏空间的概念及性质，度量矩阵;向量的长度、夹角、正交、距离，柯西一布涅科夫斯基不等式;标准正交基;欧氏空间的子空间的正交补，欧氏空间的同构;欧氏空间的正交变换与对称变换，对称变换与实对称矩阵用正交变换化实对称矩阵为对角阵的方法。

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