2021石家庄铁道大学高等代数研究生考试大纲 正文

《高等代数》考试大纲

一、考试的总体要求
高等代数是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业和统计学专业的一门重要的基础课，通过考试，考察学生对本课程的基本理论、基本方法和基本技能的掌握程度，考察学生抽象思维、逻辑推理的能力，应用所学知识分析、解决问题的能力，通过各学科综合平衡，选拔优秀学生入学深造。
二、考试的内容及考查比例
第一章、多项式（7%）
1．理解数域，多项式，整除，最大公因式，互素，不可约，k重因式，重因式的概念；了解多项式环，本原多式，字典排序法，对称多项式，初等对称多项式，齐次多项式，多项式函数等概念。
2．掌握整除的性质，带余除法定理，最大公因式定理，互素的判别与性质，不可约多项式的判别与性质，多项式唯一因式分解定理，余式定理，因式定理、代数基本定理，高斯引理，Eisenstein判别定理，对称多项式基本定理。
3．掌握无重因式的充要条件，判别条件，复数域、实数域及有理数域上多项式因式分解理论，有理多项式的有理根范围。
4．熟练运用辗转相除法，综合除法。
第二章、行列式（5%）
1．了解行列式的概念，理解行列式的子式，余子式及代数余子式的概念。
2．掌握行列式的性质，按行、列展开定理，Gramer法则，Laplace定理，行列式乘法公式。
3．熟练运用行列式的性质及展开定理计算行列式，掌握计算行列式的基本方法。
第三章、线性方程组（10%）
1．理解向量线性相关，向量组等价，极大无关组，向量组的秩，矩阵的秩，基础解系，解空间等概念。
2．掌握线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构。
3．熟练运用行初等变换求解线性方程组的方法。
第四章、矩阵（15%）
1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称阵、反对称阵的概念及其性质。
2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律。
3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件。理解伴随矩阵的概念，掌握伴随矩阵的性质。
4．掌握矩阵的初等变换、掌握初等矩阵的性质，理解矩阵等价的概念，熟练运用初等变换法求矩阵的秩及逆矩阵。
5．理解分块矩阵，掌握分块阵的运算及初等变换。
第五章、二次型（5%）
1．理解二次型的概念及二次型的矩阵表示，了解二次型秩的概念，掌握二次型的标准形、规范形的概念及惯性定律。
2．掌握用合同变换、正交变换化二次型为标准形的方法。
3．掌握二次型和对应矩阵的正定、半正定、负定、半负定及其判别法。
第六章、线性空间（20%）
1．理解线性空间，子空间，生成子空间，基底，维数，坐标，过渡矩阵，子空间的和与直和等概念。了解线性空间同构的概念。
2．掌握基扩张定理，维数公式，掌握直和的充要条件。
3．熟练运用概念求基底，维数，坐标，过渡矩阵。
第七章、线性变换（18%）
1．理解线性变换，特征值，特征向量，特征多项式，特征子空间，不变子空间，线性变换的矩阵，相似变换，相似矩阵，线性变换的值域与核，Jardan标准形，最小多项式等概念。
2．掌握线性变换的性质，相似矩阵的性质，特征值、特征向量的性质，核空间与值域的性质，不变子空间的性质。掌握Hamilton-Cayley定理及将线性空间V分解成A–不变子空间的条件和方法，了解最小多项式理论。
3．熟练运用线性变换的矩阵表示方法，求线性变换的特征值、特征向量的方法，矩阵可相似对角化的条件与方法。掌握线性变换与矩阵“互化”的思想方法，会用各种特殊子空间解决相关问题。
第八章、--矩阵（5%）
1．理解--矩阵的秩，可逆--矩阵，--矩阵的初等变换，行列式因子，不变因子，初等因子等概念，了解--矩阵的标准形。
2．掌握--矩阵可逆的充要条件，--矩阵等价的充要条件，数字矩阵相似的充要条件，了解Jordan标准形的理论推导。
3．会求--矩阵的标准形及不变因子。会求数字矩阵的Jodan标准形。
第九章、欧几里得空间（15%）
1．掌握内积，欧氏空间，向量长度、夹角、距离、度量矩阵、标准正交基、正交补、正交变换、正交阵、对称变换、同构等概念。
2．掌握Schmidt正交化方法。掌握标准正交基的性质，正交变换的性质，正交阵的性质，对称变换的性质及标准形。
3．掌握实对称阵的特征值、特征向量的性质。熟练运用正交相似变换将实对称阵相似（合同）对角化。

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