浙江理工大学

    2021年硕士学位研究生招生考试业务课考试大纲

    考试科目：高等数学代码：602

    一、基本要求：

    要求考生系统掌握高等数学学科的基本知识、基础理论和基本方法，并能运用相关理论和方法分析、解决有关问题。

    二、范围与要求：

    第一章函数与极限

    1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

    2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

    3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

    4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的基本概念。

    5.理解极限的概念、函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限存在之间的关系。

    6.掌握极限的性质及四则运算法则、极限存在的两个准则，并会利用它们求极限。掌握利用两个重要极限求极限的方法。

    7.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

    8.理解函数连续性的概念，掌握函数间断点的类型的判别方法。了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

    第二章导数与微分

    1.理解导数和微分的概念和关系、导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程。

    2.了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

    3.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则、基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

    4.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数、分段函数的二阶导数。

    5.会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

    第三章微分中值定理与导数的应用

    1.理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解柯西中值定理。

    2.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法、函数最大值和最小值的求

    法及其简单应用。

    3.用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

    4.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

    5.了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

    第四章不定积分

    1.理解原函数、不定积分概念和性质。

    2.掌握不定积分的基本公式、换元积分法与分部积分法。

    3.会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。

    第五章定积分

    1.理解定积分的概念和性质。

    2.了解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

    3.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

    4.了解无穷限的反常积分和无界函数的反常积分的概念并会求反常积分。

    第六章定积分的应用

    1.理解定积分的元素法的基本思想。

    2.掌握用定积分计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力）及函数的平均值。

    第七章微分方程

    1.理解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。

    2.掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法。

    3.会解二阶常系数齐次线性微分方程。了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解非齐次项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和的二阶常系数非齐次线性微分方程。

    第八章向量代数与空间解析几何

    1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

    2.掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，了解两个向量垂直、平行的条件。

    3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

    4.掌握平面方程和直线方程及其求法。

    5.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。

    6.会求点到直线以及点到平面的距离。

    7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念。

    8.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程。

    9.了解空间曲线的参数方程和一般方程。了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程。

    第九章多元函数微分法及其应用

    1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

    2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。

    3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

    4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法。

    5.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

    6.了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。

    7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

    8.了解二元函数的二阶泰勒公式。

    9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

    第十章重积分

    1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。

    2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。

    3.会用重积分求一些几何量与物理量(曲顶柱体的体积、平面薄片的质量、曲面面积、质心、转动惯量、引力等)。

    第十一章曲线积分与曲面积分

    1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

    2.掌握计算两类曲线积分的方法。

    3.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数。

    4.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分。

    5.了解散度与旋度的概念，并会计算。

    6.会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、形心、功及流量等)。

    第十二章无穷级数

    1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.

    2.掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件。

    3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

    4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

    5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。

    6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

    7.理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

    8.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

    9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

    10.掌握泰勒级数的麦克劳林(Maclaurin)展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

    11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式。

    三、试卷题型

    填空题：10小题，每小题4分，共40分

    计算、应用、证明题：10题，每题10-12分，共110分

    参考书目：

    《高等数学（第七版）》,同济大学数学系，高等教育出版社,2014年,

    ISBN：9787040396638，9787040396621

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