2021年硕士研究生入学考试自命题科目

考试大纲

考试阶段：复试 科目满分值：100

考试科目：实变函数 科目代码：

考试方式：闭卷笔试 考试时长：180分钟

一、科目的总体要求

要求考生全面的、系统的、熟悉的掌握实变函数的基本知识和计算方法，掌握勒贝格测度与勒贝格积分。

二、考核内容与考核要求

《实变函数》主要考核5个方面的内容：集合、点集、测度、可测函数、Lebesgue积分。 能熟悉勒贝格积分的应用，了解了贝格积分的创新思想，熟悉掌握勒贝格积分的计算。

（一）集合

内容： 1、集合的概念和运算  2、对等与基数 3、可数集合与不可数集合

要求：学生理解集合的概念和运算；理解对等与基数的概念；理解可数集合与不可数集合的性质；会证明集合性质的常用方法。

（二）点集

内容：1、度量空间和n维欧氏空间 2、内点、聚点和界点  3、开集，闭集和完备集  4、直线上的开集，闭集和完备集的构造

要求：学生理解度量空间和n维欧氏空间的概念；理解内点、聚点和界点的概念，掌握聚点的几个等价定义；理解导集和闭包的概念；了解外点、孤立点、开核和边界的定义；理解开集和闭集的概念，理解开集和闭集之间的对偶关系，理解开集和闭集的性质；了解Heine-Borel有限覆盖定理；了解紧集、自密集和完备集的定义；理解构成区间与余区间的概念；会用直线上的开集与闭集的构造定理。

（三）测度

内容:  1、外测度  2、  可测集  3、可测集类

要求: 学生理解外测度与可测集的概念；掌握集合可测的几个充要条件；理解可测集的性质；了解一些常用的可测集，如零集，开集、闭集、Borel集、型集、型集等；会可测集的一些常用证明方法。

（四）可测函数

内容：1、可测函数及其性质  2、叶果洛夫定理  3、可测函数的构造  4、依测度收敛

要求：理解可测函数的概念，掌握可测函数的几个等价定义；理解可测函数的性质；了解简单函数的概念，了解可测函数与简单函数的关系；理解几乎处处收敛的概念，会用叶果洛夫定理；会用鲁津定理；理解依测度收敛的概念，会用Riese定理。了解勒贝格定理。

  （五）勒贝格积分 

内容：1、勒贝格积分的定义  2、勒贝格积分的性质  3、 一般可

积函数 4、Riemann积分和勒贝格积分的关系  5、积分的极限定理

要求：理解勒贝格积分的概念，理解勒贝格积分的性质；理解一般可积函数的定义及其性质；会用勒贝格控制收敛定理；会用列维定理；会用Fatou引理；以及非负可测函数积分的几何意义。

  三、题型结构

考试满分100分，其中选择题约30分，计算题约30分，证明题约40分。

四、其它要求

具体考试时间以《准考证》为准。

 

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